Turunan Fungsi Komposit (dengan Aturan Rantai)

Untuk menjelaskan tentang fungsi komposit, dapat kita gambarkan dengan cerita berikut:

Dalam sebuah perlombaan lari, peserta bernama Nina berlari 3 kali lebih cepat dari pada Susan, Susan dapat berlari 4 kali lebih cepat dari pada Rini, maka Nina dapat berlari $(3.4)=12$ lebih cepat dari pada Rini.

Andaikan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$

Menentukan fungsi komposit $y=f(g(x))$

Karena suatu turunan menunjukkan suatu laju perubahan, maka dapat dikatakan:

perubahan $y$ sama cepatnya dengan $\displaystyle\frac{dy}{du}$

perubahan $u$ sama cepatnya dengan $\displaystyle\frac{du}{dx}$

Sehingga dapat disimpulkan:

perubahan $y$ sama cepatnya dengan $\displaystyle(\frac{dy}{du}).(\frac{du}{dx})$


ATURAN RANTAI

Misalkan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$ , menentukan fungsi komposit $y=f(g(x))=(f\circ g)(x)$.

Jika :
$g$ dapat diturunkan terhadap $x$
$f$ dapat diturunkan terhadap $u=g(x)$
maka

$(f\circ g)(x)$ dapat diturunkan terhadap $x$
dan
$(f\circ g)(x)=f’(g(x)) g’(x)$ .

Atau bisa dituliskan:

Dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, maka:

$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=(\frac{{d}f(u)}{du})(\frac{{d}g(x)}{dx})$


Contoh:

$y=(3x^2+4x-5)^7$

Jadi $y=u^7$ dengan $u=3x^2+4x-5$

Maka:

$y’=\displaystyle(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})$
$y’=\displaystyle(\frac{{d}u^7}{du})(\frac{{d}(3x^2+4x-5)}{dx})$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7u^6(6x+4)$
$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7(3x^2+4x-5)^6(6x+4)$



Sekian dan Terima kasih..Semoga Bermanfaat...

Referensi : Kalkulus Edisi Ke tujuh Oleh Dale Varberg dan Edwin J. Purcell