Definisi dan Cara Menghitung Turunan Fungsi Matematika

Turunan atau disebut juga dengan diferensial. Turunan adalah bagian dari kalkulus, yaitu kalkulus diferensial.

Konsep turunan yaitu perubahan suatu fungsi akibat berubahnya nilai yang dimasukkan. Contohnya yaitu seperti laju pertumbuhan penduduk, laju pertumbuhan organisme, dll. Proses perhitungan turunan disebut dengan “Pendiferensialan”.

Dengan fungsi $(y=f(x))$

Untuk menyatakan turunan kita gunakan notasi :

$(\displaystyle\frac{dy}{dx})$ untuk turunan pertama, $\displaystyle\frac{{d^2}y}{{d^2}x}$ untuk turunan kedua, dan $\displaystyle\frac{{d^n}y}{{d^n}x}$ untuk turunan ke-n

Selain itu bisa juga :

$y’$ untuk turunan pertama, $y’’$ untuk turunan kedua, dan $y^{(n)}$ untuk turunan ke-n

Atau bisa juga:

${f(x)}’$ untuk turunan pertama, ${f(x)}’’$ untuk turunan kedua, dan ${f(x)}^{(n)}$ untuk turunan ke-n


DEFINISI

Turunan fungsi $f$ adalah fungsi lain $f'$(dibaca $f$ aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan $c$ yaitu:
$f'(c)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}$

asalkan limit ini ada.

Jika limit ini memang ada, maka dapat dikatakan bahwa $f$ terdiferensialkan di $c$. Pendiferensialan adalah pencarian turunan.
Contoh:
Jika $f(x)=5x+7$ maka cari nilai $f'(3)$
Jawab:
$f'(c)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}}$
$f'(c)=\displaystyle{\lim_{h \to 0} \frac{5(3+h)+7-(5(3)+7)}{3}}=5$

Dari sini kita akan mengubah cara penulisan pada definisi turunan, kita akan menghilangkan unsur $h$, dan menyatakannya dengan $x$.
Pada definisi $f(c+h)$ adalah sebuah fungsi, lalu $f(c+h)$ kita ganti dengan $f(x)$, sehingga
$c+h=x$, maka $h=x-c$,

Lalu pada definisi dituliskan $h \to 0$, jika $h$ digantikan $(x-c)$ menjadi $(x-c) \to 0$. Karena $(x-c)$ nilainya mendekati $0$ maka nilai $x$ mendekati $c$.
sehingga nilai turunan fungsi $f$ yang dinyatakan dalam $f'$ pada definisi di atas tadi menjadi:
$f'(c)=\displaystyle{\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}}$
Kemudian kita akan menghitung contoh tadi dengan menggunakan rumus yang kedua ini.
Contoh:
Jika $f(x)=5x+7$ maka cari nilai $f'(3)$
Jawab:
$f'(3)=\displaystyle{\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}}$
$f'(c)=\displaystyle{\lim_{x \to 3} \frac{5x+7-(5.3+7)}{x-3}=5}$

Namun dengan jika kita mencari turunan dengan menggunakan rumus pada definisi yaitu dengan menghitung limitnya, itu akan memakan banyak waktu, apalagi jika fungsi yang akan dicari turunannya adalah fungsi yang rumit. Oleh karena itu kita bisa memperpendek proses yang panjang tersebut dengan menggunakan aturan-aturan sebagai berikut.

1. Aturan Konstanta

Jika $(y=k)$ dengan $k$ adalah suatu konstanta,

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=0}$

Contoh: $y=5$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(5)}{dx}=0$


2. Aturan Fungsi Identitas

Jika $y=f(x)=x$,

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(x)}{dx}=1}$


3. Aturan Pangkat

Jika $y=f(x)=x^n$, dengan n adalah rasional

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}}$

Contoh: $y=x^7$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=7x^{7-1}=7x^6$


4. Aturan Kelipatan Konstanta

Jika $y=k.f(x)$, dengan $f(x)=u$ dan $k$ adalah konstanta

maka:

$\boxed{y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=k.u’}$

Contoh: $y=2x^5$, maka $y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2(5)x^6=10x^6$


5. Aturan Jumlah

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=f(x)+g(x)=u+v$

maka:

$\boxed{(u+v)’=u’+v’}$

Contoh: $y=3x^2+2x$, maka $y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(3x^2)}{{d}x}+ \frac{{d}2x}{{d}x}=6x+2$


6. Aturan Selisih

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=f(x)-g(x)=u-v$

maka:

$\boxed{y'=(u-v)’=u’-v’}$

Contoh: $y=3x^4-x^2$, maka $y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(3x^4)}{{d}x}- \frac{{d}(x^2)}{{d}x}=12x^3-2x$


7. Aturan Hasil Kali

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$,dan $y=(f(x))(g(x))=uv$

maka:

$\boxed{(uv)'=u’v+uv’}$

Contoh: $y=(x^2-1)(x-3)$, maka

$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{{d}(x^2-1)}{{d}y} (x-3)-(x^2-1) \frac{{d}(x-3)}{{d}x}$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x(x-3)+(x^2-1)(1)$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x^2-6x+x^2-1$
$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}==3x^2-6x-1$


8. Aturan Hasil Bagi

Misal $f(x)=u$ dan $g(x)=v$, dan $y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{u}{v}$

maka:

$\boxed{y'=\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u’v-uv’}{v^2}}$

Contoh: $y=\displaystyle\frac{2x}{(x-2)}$, maka:

$y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{{d}(2x)}{{d}x}(x-2)-(2x) \frac{{d}(x-2)}{{d}x}}{(x-2)^2}$
$y’=\displaystyle(\frac{dy}{dx}=\frac{2(x-2)-(2x)(1)}{(x-2)^2})$
$y’=\displaystyle(\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{(x-2)^2})$



Sekian dan Terima kasih..Semoga Bermanfaat...

Referensi : Kalkulus Edisi Ke tujuh Oleh Dale Varberg dan Edwin J. Purcell