Integral disebut juga anti turunan. Bahasa simpelnya Yaitu mengembalikan fungsi yang telah diturunkan menjadi seperti semula
Lambang untuk integral yaitu kita menggunakan lambang yang digunakan Leibniz yaitu: ∫
Jika integral dari $f(x)$ maka dituliskan :
$\displaystyle\int{f(x)}\,dx$
Rumus-rumus perhitungan Integral
1. Aturan Pangkat
Jika $r$ adalah sebarang bilangan rasioanl kecuali (-1), maka :
$\displaystyle\int{x^r}\,dx=\frac{x^(r+1)}{r+1}+C$
Dengan $C$ adalah sebuah konstanta
Contoh: $y=4x$
Maka $\displaystyle\int{x}\,dx=4\int{x}\,dx=\frac{x^2}{2}+C$
2. Aturan Perkalian Konstanta
Misalkan $f(x)$ dan $k$ adalah konstanta, maka:
$\displaystyle\int{kf(x)}\,dx=k\int{f(x)}\,dx$
3. Aturan Penjumlahan
Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi, sedangkan $k$ adalah konstanta, maka:
$\displaystyle\int{(f(x)+g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx+\int{f(x)}\,dx $
4. Aturan Selisih
Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi, sedangkan $k$ adalah konstanta, maka:
$\displaystyle\int{(f(x)-g(x))}\,dx= \int{f(x)}\,dx-\int{f(x)}\,dx $
Contoh untuk Aturan perkalian konstanta, penjumlahan, dan selisih:
Hitunglah $\displaystyle{\int{4x^2+3x-6}\,dx}$
Maka
$\displaystyle{\int{4x^2+3x-6}\,dx}$
$=\displaystyle{4\int{x^2}\,dx+3\int{x}\,dx-\int{6}\,dx}$
$=\displaystyle{4(\frac{x^3}{3}+C_1)+3(\frac{x^2}{2}+C_2)-6(x+C_3)}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+4C_1+3\frac{x^2}{2}+3C_2-6x+6C_3}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}-6x+(4C_1+3C_2-6C_3)}$
$=\displaystyle{4\frac{x^3}{3}+3\frac{x^2}{2}-6x+C}$
5. Aturan Pangkat yang Dirampatkan
Jika $u=f(x)$ adalah fungsi yang dapat diturunkan dan $r$ adalah bilangan rasional dengan $r\neq(-1)$ , maka :
$\displaystyle\int{(f(x))^r f’(x)}\,dx=\frac{(f(x))^(r+1)}{r+1}+C$
Contoh:
Hitunglah $\int{(x^3+2x)^5 (3x+2)}\,dx$
Pada fungsinya dapat dituliskan $f(x)=x^3+2x)$ dan $f’(x)=(3x+2)$
Maka:
$\displaystyle\int{(x^3+2x)^5 (3x+2)}\,dx=(x^3+2x)^{(5+1)}+C=(x^3+2x)^6+C$
INTEGRAL TRIGONOMETRI
$\displaystyle\int{\sin x}\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle\int{\cos x}\,dx=\sin x+C$
Contoh :
Hitunglah $\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx$
Jawab:
Dengan $\int{(\cos^2 x)(\sin x})\,dx$ ...i
Misalkan $u=\cos x$ dan $du=(\sin x)dx$ ...ii
Langkah 1: Subtitusikan ii ke i
Sehingga didapatkan:
$\displaystyle\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx=\int{u^2}du=\frac{u^3}{3}+C$...iii
Langkah 2: Subtitusikan $u=\cos x$ pada iii
Sehingga dihasilkan :
$\displaystyle\frac{u^3}{3}=\frac{\cos^3 x}{3}+C$
Jadi $\displaystyle\int{(\cos^2 x)(\sin x}\,dx=\frac{\cos^3 x}{3}+C $